一、 研究背景與問題提出

柔性可拉伸電子技術是當前的前沿領域，其在生物醫療、可穿戴設備、軟體機器人等方面具有廣泛應用前景。其中，“島-橋"結構是一種關鍵設計策略：將功能強大的剛性電子元件（如芯片、傳感器）作為“島嶼"集成在柔軟的彈性基底上，并通過可大幅拉伸的蛇形“橋梁"進行連接。然而，這種“剛柔并濟"的結構存在一個核心力學問題——島效應。即當基底被拉伸時，由于剛性島與軟基底之間的巨大模量差異，變形無法均勻傳遞，導致在島嶼邊緣界面處產生嚴重的應變集中。這種局部高應變極易引起界面脫粘、材料撕裂等失效，嚴重制約了整個器件系統的拉伸性和可靠性。

盡管已有研究觀察到了這一現象，但對于其內在機理，尤其是在等雙軸拉伸這一復雜載荷下的定量預測模型，仍缺乏系統的理論闡述。因此，建立一個能夠準確預測島效應下的變形和應變分布的理論模型，對于指導柔性電子器件的優化設計至關重要。

二、 研究內容與方法

本研究聚焦于島效應，旨在建立一個普適的標度律，用于預測在等雙軸拉伸下，基底表面的位移和應變分布。研究結合了三種方法：

1. 理論建模：從具有幾何對稱性的基本單元（方形基底+中心圓形剛性島）出發，建立理論分析框架。

2. 數值模擬：利用有限元分析進行參數化研究和模型驗證。

3. 實驗驗證：通過等雙軸拉伸試驗和數字圖像相關技術，定量測量變形場，與理論預測進行對比。

三、 核心發現與理論模型

1. 關鍵控制參數：通過量綱分析和參數研究，論文明確指出，歸一化的島半徑與基底半長之比（R/L） 是決定島效應變形場的關鍵參數。當島嶼模量遠大于基底（E_i / E_s ≥ 10）時，施加的應變大小、基底的本構模型（線彈性或超彈性）對歸一化的變形模式影響甚微。

2. 位移與應變標度律：

基于位移場的對稱性和周期性特征，研究建立了以三角函數為核心的位移標度律解析表達式。位移場由幾個特征參數（如平均徑向位移、擾動幅值等）描述。

這些特征參數均可表示為 R/L 和 r/L （歸一化徑向坐標）的函數，并通過擬合有限元數據，得到了具體的經驗公式。

通過對位移表達式進行微分，進一步推導出了徑向、環向及剪切應變分量的完整解析解。

3. 軸對稱簡化準則：研究發現，當島嶼較小時，變形場近似軸對稱（與角度θ無關）；當島嶼較大時，角度的影響不可忽略。為此，論文提出了一個清晰的判據：當 R/L ≤ 0.2587 時，問題可簡化為軸對稱問題，標度律方程可大幅簡化，且與經典彈性理論解高度吻合。

4. 模型適用范圍：該標度律模型成立需滿足幾個條件：

基底可簡化為平面應力狀態（厚度遠小于平面尺寸）。

島嶼可視為剛性（E_i / E_s ≥ 10）。

歸一化島半徑 R/L < 0.81 （臨界閾值）。

四、 模型驗證與應用拓展

1. 驗證：

邊界條件滿足性：理論模型預測的位移場能很好地滿足島嶼界面無位移和基底邊界等位移的邊界條件。

與FEA和實驗對比：針對不同R/L值（如0.3, 0.5），標度律的預測結果與有限元模擬及DIC實驗測量結果均高度一致，成功捕捉到了島嶼邊緣的應變集中現象。

2. 向周期性陣列的拓展：

對于實際器件中常見的周期性島嶼陣列，論文引入了面積覆蓋率（η） 的概念。

研究揭示，應變集中程度主要由面積覆蓋率η決定。一個由多個小島嶼組成的陣列與一個具有相同η的單個大島嶼，所產生的宏觀應變集中水平是等效的。這為設計師提供了靈活性：可以根據電子元件的實際尺寸來排布島嶼的大小和布局，從而在最小化應力集中和表面利用率之間取得平衡。

五、 結論與意義

本研究成功發展了一個用于預測等雙軸拉伸下島效應的理論模型。該模型的核心貢獻在于：

明確了R/L的核心主導作用，將復雜的力學問題參數化。

提供了位移和應變分布的顯式解析表達式（標度律），具有強大的預測能力。

給出了實用的軸對稱簡化判據，便于工程應用。

將模型從單島推廣到島陣列，極大地增強了其實用價值。